Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期為T=2π，且f（2π）=2．
（1）求ω和A的值；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f（α-

π

6

）=

16

5

，f（β+

11π

6

）=

20

13

，求cos（α-β）．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先利用周期公式求得ω，進而把x=2π代入求得A．
（2）分別根據f（α-

π

6

）和f（β+

11π

6

）的值求得sinα和sinβ的值，進而利用同角三角函數基本關系求得cosα和cosβ的值，進而利用余弦的兩角和公式求得答案．

解答： 解：依題意得

(1)ω= 2π T = 2π 2π =1…(2分) ∴f(x)=Asin(x+ π 6 ) 由f(2π)=2，得Asin π 6 =2 ∴A=2×2=4…(4分) (2)由(1)得f(x)=4sin(x+ π 6 )…(5分) ∵f(α- π 6 )=4sin(α- π 6 + π 6 )=4sinα…(6分)

f(β+ 11π 6 )=4sin(β+ 11π 6 + π 6 )=4sin(β+2π)=4sinβ…(7分) 由已知 f(α- π 6 )= 16 5 f(β+ 11π 6 )= 20 13 ，得 4sinα= 16 5 4sinβ= 20 13 得 sinα= 4 5 sinβ= 5 13 …(9分)

又∵α，β∈[0，

π

2

]，
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

…(11分)
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

…(12分)

點評：本題主要考查了三角函數圖象與性質，三角函數恒等變換的應用．考查了學生對三角函數基礎知識的綜合運用．