Question

【題目】已知函數f（x）=g（x）﹣（a﹣1）lnx，g（x）=ax+ +1﹣3a+（a﹣1）lnx．
（1）當a=1時，求函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若不等式g（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x+ ﹣2，f′（x）=1﹣ ，

∴f′（2）= ，f（2）= ，

∴函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y﹣ = （x﹣2），

即3x﹣4y﹣4=0

（2）解：g′（x）= ，

0＜a＜ 時，g′（x）＞0，得x＞ ﹣2，

令g′（x）＜0，得1＜x＜ ﹣2，

∴g（x）在（1， ﹣2）上是減函數，

∴x∈（1， ﹣2），g（x）＜g（1）=0，

與g（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立矛盾，

a≥ ，g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立，

g（x）在[1，+∞）為增函數，

∴g（x）≥g（1）=0，符合題意，

綜上所述，a≥

【解析】（1）當a=1時，求導數，確定切線的斜率，即可求出切線方程；（2）求出函數的導數，分類討論，利用g′（x）≥0在x∈[1，+∞）時恒成立，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．