Question

已知P_n是把P_n-1P_n+1線段作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，設線段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的長度分別為
a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）寫出a₂，a₃和a_n的表達式；
（2）證明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）設點M_n（n，a_n），在這些點中是否存在兩個點同時在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0）的圖象上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1線段作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，從而可得

an

an-1

=

1

n-1

，進而利用疊乘即可求出a₂，a₃和a_n的表達式；
 （2）對通項進行放縮，再求和，利用等比數列的求和公式即可證明；
（3）假設存在，即可得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，再證明數列bn=

n2

n!

的單調減即可．

解答：解：（1）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a3=

1

2

，

an

an-1

=

1

n-1

∴an=

1

n-1

an-1=

1

n-1

•

1

n-2

•an-2=…=

1

(n-1)!

（2）∵

1

(n-1)!

=

1

1×2×…×n

≤

1

2n-2

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+

1

2

+…

1

2n-2

=3-(

1

2

)n-2＜3
而n=1時，結論成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假設有兩個點A（p，a_p），B（q，a_q），都在函數y=

k

(x-1)2

上，即ap=

k

(p-1)2

，aq=

k

(q-1)2

所以

(p-1)2

(p-1)!

=k，

(q-1)2

(q-1)!

=k，消去k得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

 ①，以下考查數列bn=

n2

n!

的增減情況，
bn-bn-1=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)!

，
當n＞2時，n²-3n+1＞0，所以對于數列{b_n}為遞減數列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在．

點評：本題以線段為載體，考查數列的通項，考查放縮法的運用，考查函數的單調性，綜合性強．