Question

（2008•上海模擬）已知AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸，若把該長軸n等分，過每個等分點作AB的垂線，依次交橢圓的上半部分于點P₁，P₂，…，P_n-1，設左焦點為F₁，則

lim

n→∞

1

n

(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)=

a

．

Answer 1

分析：由橢圓的定義可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，由此求得|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|的值，而|F₁A|+|F₁B|=2a，從而求得|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|的值，代入要求的式子求出結果．

解答：解：設右焦點為F₂，由橢圓的定義可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，
由題意知 點P₁，P₂，…，P_n-1關于y軸成對稱分布，
∴|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|=

n-2

i=1

(|F1Pi|)=

1

2

n-2

i=1

(|F1Pi|+|F2Pi|)=(n-2)•a=（n-2）a，
而|F₁A|+|F₁B|=2a，
故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=na-4+4=na，
∴

lim

n→∞

1

n

(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn-1|+|F1B|)=

lim

n→∞

1

n

(na)=a，
故答案為：a．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，求數列的極限，求出故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=na 是解題的關鍵和難點，屬于難題．