Question

已知P_n是把P_n-1P_n+1線段作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，設線段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1，的長度分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1。
（1）寫出a₂，a₃和a_n的表達式；
（2）證明a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）設點M_n（n，a_n），在這些點中是否存在兩個點同時在函數）的圖象上，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由已知P_{n﹣1 Pn}=（n﹣1）P_nP_n﹣1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，
∴a₂=1，同理
。
（2）∵
a₁+a₂+a₃+…+a_n
而n=1時，結論成立，
故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假設有兩個點A（p，a_p），B（q，a_q），都在函數上，
即，
所以，，
消去k得 ①，
以下考查數列的增減情況，
，
當n＞2時，n²﹣3n+1＞0，
所以對于數列{b_n}為遞減數列
∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。