Question

（2013•大連一模）已知函數y=f（x）的定義域為R，且具有以下性質：①f（x）-f（-x）=0；②f（x+2）=f（2-x）；③y=f（x）在區間[0，2]上為增函數，則對于下述命題：
（Ⅰ）y=f（x）的圖象關于原點對稱； 
（Ⅱ）y=f（x）為周期函數，且4是一個周期；
（Ⅲ）y=f（x）在區間[2，4]上為減函數．
所有正確命題的序號為

（Ⅱ）、（Ⅲ）

．

Answer 1

分析：由：①f（x）-f（-x）=0可判斷其奇偶性；由②f（x+2）=f（2-x）可判斷其對稱性；再結合③y=f（x）在區間[0，2]上的單調性即可對（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）的正誤作出判斷．

解答：解：∵①f（x）-f（-x）=0，
∴f（-x）=f（x），
∴y=f（x）為偶函數，不是奇函數，故（Ⅰ）錯誤；
又f（x+2）=f（2-x），
∴y=f（x）關于直線x=2對稱，且f（x）=f（4-x），
∴f（-x）=f（4-x），
∴y=f（x）是周期為4的為周期函數，故（Ⅱ）正確；
又y=f（x）在區間[0，2]上為增函數，
∴偶函數y=f（x）在區間[-2，0]上為減函數，又y=f（x）是周期為4的為周期函數，
∴y=f（x）在區間[2，4]上為減函數，即（Ⅲ）正確．
綜上所述，所有正確命題的序號為（Ⅱ）、（Ⅲ）．
故答案為：（Ⅱ）、（Ⅲ）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性、對稱性與單調性的綜合應用，屬于中檔題．