Question

（2013•大連一模）定義在R上的函數f（x）滿足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）為f（x）的導函數，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，且f′（x）有且只有一個零點，若非負實數a，b滿足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，則

b+2

a+1

的取值范圍是（　　）

• A．[

  4

  5

  ，3]
• B．(0，

  4

  5

  ]∪[3，+∞)
• C．[

  4

  5

  ，5]
• D．(0，

  4

  5

  ]∪[5，+∞)

Answer 1

分析：根據y=f′（x）圖象得到函數的單調性，從而將f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化簡f（-a-2b）≤3，得到-2≤-a-2b≤0．然后在aob坐標系內作出相應的平面區域，得到如圖所示的陰影部分平面區域，利用直線的斜率公式即可求出

b+2

a+1

的取值范圍．

解答：解：由y=f′（x）圖象可知，當x=0時，f′（x）=0，
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
又∵a，b為非負實數，
∴f（2a+b）≤1可化為f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，
同理可得-2≤-a-2b≤0，即0≤a+2b≤2，
作出以及a≥0和b≥0所對應的平面區域，
得到如圖的陰影部分區域，
解之得A（0，1）和B（1.5，0）
而等于可行域內的點與P（-1，-2）連線的斜率，
結合圖形可知：k_PB是最小值，k_PA是最大值，
由斜率公式可得：k_PA=

1+2

0+1

=3，k_PB=

0+2

1.5+1

=

4

5

，
故

b+2

a+1

的取值范圍為[

4

5

，3]
故選：A

點評：本題在給出函數的導數圖象基礎之上，求滿足不等式組的

b+2

a+1

的取值范圍．著重考查了利用導數研究函數的單調性、直線的斜率公式和二元一元不等式組表示的平面區域等知識，屬于中檔題．