Question

已知二次函數f（x）=x²+mx+1（m∈z），且關于x的方程f（x）=2在區間(-3，

1

2

)內有兩個不同的實根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g(x)=m-|x2-1|-k，若g（x）有且僅有兩個零點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意轉化為函數g（x）=x²+mx-1在區間(-3，

1

2

)內有兩個不同的零點（圖象與x軸有兩個不同的交點），由二次函數的性質列出等價不等式組，再求出m的值，代入解析式求解；
（2）由題意得g(x)=m-|x2-1|-k=0，由（1）化簡后由指對互化得，-|x²-1|=log₂k有兩個不同的實根，再畫出y=-|x²-1|的圖象，列出不等式由對數函數的性質求解．

解答：解：（1）由f（x）=2得，x²+mx-1=0，
則方程x²+mx-1=0在區間(-3，

1

2

)內有兩個不同的實根，
即函數g（x）=x²+mx-1在區間(-3，

1

2

)內有兩個不同的零點（圖象與x軸有兩個不同的交點），
∴

△=m2+4＞0 -3＜- m 2 ＜ 1 2 g(-3)=9-3m-1＞0 g( 1 2 )= 1 4 + m 2 -1＞0

，解得

3

2

＜m＜

8

3

，
∵m∈z，∴m=2，
則函數的解析式是f（x）=x²+2x+1，
（2）由g(x)=m-|x2-1|-k=0得，2-|x2-1|=k，
即-|x²-1|=log₂k有兩個不同的實根，
畫出y=-|x²-1|的圖象：

由圖得，log₂k＜-1或log₂k=0，
解得0＜k＜

1

2

或k=1，
故k的取值范圍：0＜k＜

1

2

或k=1．

點評：本題主要考查了方程的根與函數零點之間的轉化問題，利用二次函數的性質和對數函數的性質化簡，考查了數形結合思想和基本的作圖能力．