Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n，a_n，

1

2

成等差數列，
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若b_n=4-2n（n∈N^*），設cn=

bn

an

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n，a_n，

1

2

成等差數列，可得2an=Sn+

1

2

，從而可求
（2）由2an=Sn+

1

2

可得，2S_n=4a_n-1（n≥1），利用2S_n-1=4a_n-1-1，兩式相減得整理可得a_n=2a_n-1，利用等比數列的通項公式可求
（3）由題意可得，Cn=(4-2n)×(

1

2

)n-2，根據數列通項的特點考慮利用錯位相減可求

解答：解：（1）由S_n，a_n，

1

2

成等差數列，可得2an=Sn+

1

2

，∴a1=

1

2

，a₂=1
（2）由2an=Sn+

1

2

可得，2S_n=4a_n-1（n≥1），∴2S_n-1=4a_n-1-1（n≥2）
∴兩式相減得2a_n=（4a_n-1）-（4a_n-1-1）=4a_n-4a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴數列{a_n}是以

1

2

為首項，以2為公比的等比數列，
∴an=

1

2

×2n-1=2n-2（n∈N^*）
（3）由題意可得，Cn=(4-2n)×(

1

2

)n-2
T_n=C₁+C₂+…+C_n
=2×(

1

2

)-1+0×(

1

2

)0+(-2)×(

1

2

)1+…+(4-2n)×(

1

2

)n-2

1

2

Tn=2×(

1

2

)0+0×(

1

2

)1+…+(4-2n)×(

1

2

)n-1
錯位相減可得，

1

2

Tn=2n×( 

1

2

)n-1
Tn=4n×(

1

2

)n-1

點評：本題主要考查了利用遞推公式構造求解數列的通項公式，而錯位相減求解數列的和是數列求和的難點和重點，要注意該方法的掌握．