Question

【題目】已知動圓P恒過定點，且與直線相切．

（Ⅰ）求動圓P圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點C、D在軌跡M上，求正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或

【解析】

（1）根據題意及拋物線的定義可得軌跡的方程為；（2）設邊所在直線方程為，代入拋物線方程后得到關于的二次方程，進而由根與系數的關系可得，又由兩平行線間的距離公式可得，由求出或，于是可得正方形的邊長，進而可得其面積．

（1）由題意得動圓的圓心到點的距離與它到直線的距離相等，

所以圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，且，

所以圓心的軌跡方程為．

（2）由題意設邊所在直線方程為，

由消去整理得，

∵直線和拋物線交于兩點，

∴，解得．

設，，

則.

∴．

又直線與直線間的距離為，

∵，

∴ ，解得或，

經檢驗和都滿足．

∴正方形邊長或，

∴正方形的面積或．