Question

（本題滿分13分）
如圖，在四棱錐中，平面平面．底面為矩形， ，．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為平面平面，
，且面面，
所以平面.
又因為平面 
所以．               …………………………………………… 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.
在中，，，
所以，
所以平面.
即，,
所以為二面角的平面角．
在中，，
所以二面角的大小．     …………………………………… 13分
法二：取的中點,的中點．
在中，，為的中點，所以，．
又因為平面平面，且平面平面
  
所以，平面．顯然，有．  ……………………………… 1分
如圖，以P為坐標原點，PA為x軸，PE為y軸，PS
為z軸建立空間直角坐標系，
則，，
，，
．     ………………………………………………………………3分
（Ⅰ）易知
因為，
     所以．      …………………………………………………………… 6分
（Ⅱ）設為平面的一個法向量，則有，
即，所以．  ……………………………… 7分
顯然，平面，所以為平面的一個法向量，
所以為平面的一個法向量．……………………………………… 9分
所以 ，
所以二面角的大小為．  ………………………………………… 13分
 

略