Question

已知：函數f（x）=|x-1|+|x-2|
（I）求不等式f（x）≤2的解集
（II）對于任意的實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）函數f（x）=|x-1|+|x-2|表示數軸上x對應點到1和2對應點距離之和，而

1

2

和

5

2

在數軸上的對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，由此求得不等式f（x）≤2的解集．
（II）由題意可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x），由絕對值不等式的性質可得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2，故有 2≥f（x），由（I）可得它的解集．

解答：解：（I）函數f（x）=|x-1|+|x-2|表示數軸上x對應點到1和2對應點距離之和，
而

1

2

 和

5

2

在數軸上的對應點到1和2對應點的距離之和正好等于2，故不等式f（x）≤2的解集為[

1

2

，

5

2

]．
（II）對于任意的實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）恒成立，
故

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）恒成立，故

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值大于或等于f（x）．
由于

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，故有 2≥f（x），即|x-1|+|x-2|≤2．
由（I）可知，不等式f（x）≤2的解集為[

1

2

，

5

2

]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．