Question

【題目】設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠ ．
（1）求c；
（2）若C= ，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：4sinA=4cosBsinC+bsin2C，

4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC，

4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC，

4sinBcosC=2bsinCcosC，

4sinB=2bsinC，（C≠ ，cosB≠0）

4b=2bc，（ ）

c=2

（2）解：∵C= ， ，

∴△ABC周長l=a+b+c=2+ sinA+ sinB

=2+ sinA+ sin（ ﹣A）

=2+ sin（A+ ），

∵0 ， ＜A+ ＜ ，

∴sin（A+ ）∈（ ，1]，

∴△ABC周長l=2+ sin（A+ ）∈（4，2+ ]

【解析】（1）利用三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，化簡已知等式可得4sinB=2bsinC，利用正弦定理可求4b=2bc，從而解得c的值．（2）由正弦定理 ，可得△ABC周長l=2+ sinA+ sinB=2+ sin（A+ ），利用正弦函數的圖象和性質即可得解．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關知識才是答題的關鍵．