Question

（2007•汕頭二模）已知函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，其中m∈R．
（I）若m＜0，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）在（I）的條件下，當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=mx³-（3m+2）x²+3mx+4lnx+m+1，問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由函數的解析式，求出導函數的解析式，結合m＜0，確定導函數的零點，即原函數的極值點，并分析出函數的單調區間；
（II）根據已知可得不等式f'（x）＞3m恒成立，結合m＜0及二次函數的圖象和性質，可得m的取值范圍；
（Ⅲ）若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點，則φ（x）=g（x）-f（x）與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點，利用導數法分析函數的單調性，可得滿足條件的m的值．

解答：解：（I）∵f（x）=mx³-3（m+1）x²+3（m+2）x+1，
∴f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]…（2分）
當m＜0時，有1＞1+

2

m

，
當x變化時，f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

…（4分）
故有上表知，
當m＜0時，f（x）
在(-∞，1+

2

m

)單調遞減，
在(1+

2

m

，1)單調遞增，
在（1，+∞）上單調遞減．…（5分）
（Ⅱ）由已知得f'（x）＞3m，
即mx²-2（m+1）x+2＞0
又m＜0，
所以x2-

2

m

(m+1)x+

2

m

＜0（x∈[-1，1]） ①…（6分）
設g(x)=x2-2(1+

1

m

)x+

2

m

，
其函數開口向上，由題意知①式恒成立，
∴

g(-1)＜0 g(1)＜0

⇒

1+2+ 2 m + 2 m ＜0 -1＜0

…（8分）
解之得m＞-

4

3

又m＜0所以m的取值范圍為(-

4

3

，0)…（9分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），
則φ（x）=x²-6x+4lnx+m
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，
則函數φ（x）=x²-6x+4lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點
∴φ′(x)=2x-6+

4

x

=

2x2-6x+4

x

=

2(x-1)(x-2)

x

 (x＞0)
當x∈（0，1）時，?′（x）＞0，?（x）是增函數；
當x∈（1，2）時，?′（x）＜0，?（x）是減函數
當x∈（2，+∞）時，?′（x）＞0，?（x）是增函數
∴φ（x）有極大值φ（1）=m-5；
φ（x）有極小值φ（2）=m+4ln2-8…（12分）
又因為當x充分接近0時，φ（x）＜0；當x充分大時，φ（x）＞0
所以要使?（x）=0有且僅有兩個不同的正根，
必須且只須

φ′(1)=0 φ′(2)＜0

或

φ′(2)=0 φ′(1)＞0

即

m-5=0 m+4ln2-8＜0

或

m+4ln2-8=0 m-5＞0

，
∴m=5或m=8-4ln2．
∴當m=5或m=8-4ln2時，
函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．…（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究曲線上某點切線方程，熟練掌握導數在研究函數單調性和極值的方法和步驟是解答的關鍵．