Question

（2007•汕頭二模）設(shè)復(fù)數(shù)z=

1+i

1-i

（i為虛數(shù)單位），則C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷=（　　）

A．16

B．15

C．16i

D．16-i

Answer 1

分析：先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出z=i；再結(jié)合二項(xiàng)式定理的應(yīng)用把所求問題轉(zhuǎn)化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸即可求出結(jié)論．

解答：解：∵z=

1+i

1-i

=

(1+i)(1+i)

(1+i)(1-i)

=i．
∵（1+z）⁸=（1+i）⁸=C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷+c₈⁸z⁸．
∴C₈⁰+C₈¹•z+C₈²•z²+C₈³•z³+C₈⁴•z⁴+C₈⁵•z⁵+C₈⁶•z⁶+C₈⁷•z⁷
=（1+i）⁸-C₈⁸z⁸
=（1+i）⁸-C₈⁸i⁸
=[（1+i）⁴]²-[（i）⁴]²
=（-4）²-1²=15．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目．解決問題的關(guān)鍵在于把所求問題轉(zhuǎn)化為（1+i）⁸-C₈⁸z⁸．