Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，方程有兩個相異實根，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】分析：（1）由題可得.分類討論可得：

當時，在區間內單調遞增，

當時，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

（2）由（1）可知，.構造函數，則.令，由導函數的性質可知是減函數，則，結合函數的單調性可得，故.

詳解：（1）由題得，.

當時，由于，可得，

即.

∴在區間內單調遞增，

當時，由，得，

由，得，

∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

（2）由（1）可設，方程的兩個相異實根，滿足，

且，，

即.

由題意，可知，

又由（1）可知，在區間內單調遞減，故.

令，

則.

令，

則.

當時，，是減函數，

∴.

∴當時，，

即.

∵在區間內單調遞增，

∴，

故.