Question

【題目】如圖所示，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)， 軸為對(duì)稱軸的拋物線，且焦點(diǎn)在軸正半軸上，圓．過(guò)焦點(diǎn)且與軸平行的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線過(guò)且與拋物線和圓依次交于，且直線的斜率，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ．

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 求出拋物線的焦點(diǎn)，可得 ，可得拋物線的方程，；
（2）求出 的坐標(biāo)和直線的方程，求出圓心到直線的距離，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式可得 ，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得 ， 由此可得關(guān)于 的解析式 ，設(shè)，求出關(guān)于 的關(guān)系式，運(yùn)用換元法和導(dǎo)數(shù)，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求范圍．

試題解析：（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

∵，則

∴

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ．

（2）由（1）可知，

∴

設(shè)，

聯(lián)立方程消去，得

∴

∴

∴

又∵點(diǎn)到直線的距離為，則

∴

令，則

∴

又∵

∴的范圍為．