Question

【題目】設函數.

（1）若直線是函數的圖象的一條切線，求實數的值；

（2）當時，（i）關于的方程在區間上有解，求的取值范圍，（ii）

證明：當時， .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導，設切點，得 又，解方程即可；

（2）（i）方程即為，令，求導得到函數的單調性進而判斷方程根個數即可；

（ii）令， ，令，求導可得函數在上遞增， 存在唯一的零點， ，由得可得即可證得.

試題解析：

（1），設切點，

則，又，

即得： .

（2）當時，（i）方程即為

令，則.

當時， 隨變化情況如下表：

			極大值

，

當時， ，

的取值范圍為.

（ii）證明：令，則

.

令，則當時， ，

函數在上遞增， ，

存在唯一的零點，且當時， ，

當時， ，

則當時， ；當時， .

在上遞減，在上遞增，從而.

由得，兩邊取對數得，

，從而證得.