Question

曲線C上的點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到定直線l：x=5的距離的比是常數(shù)

5

5

．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過F且斜率為1的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)．求：
    ①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；     
    ②△OAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用條件可得等式，化簡(jiǎn)，可得曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）①過F（1，0）且斜率為1的直線方程為y=x-1，聯(lián)立

y=x-1 x2 5 + y2 4 =1

，得9x²-10x-15=0，由此能求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．
②由橢圓弦長(zhǎng)公式求出|AB|，由點(diǎn)到直線距離公式求出原點(diǎn)O到直線AB的距離d，由給能求出△OAB的面積．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則據(jù)題意有

(x-1)2+y2

|x-5|

=

5

5

，
則5[（x-1）²+y²]=（x-5）²，
即4x²+5y²=20，∴

x2

5

+

y2

4

=1，
故曲線C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）①過F（1，0）且斜率為1的直線方程為y=x-1，
聯(lián)立

y=x-1 x2 5 + y2 4 =1

，得9x²-10x-15=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則△=100-4×9×（-15）=460＞0，
x1 +x2=

10

9

，x1x2=-

5

3

，
y₁+y₂=x₁+x₂-2=-

8

9

，
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

9

，-

4

9

）．
②由①知|AB|=

(1+1)[( 10 9 )2-4×(- 5 3 )]

=

16 5

9

，
原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|0-0-1|

1+1

=

2

2

，
∴△OAB的面積S=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×

16 5

9

×

2

2

=

4 10

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審理題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．