Question

【題目】如圖1，，過動點作，垂足在線段上且異于點，連接，沿將折起，使（如圖2所示），

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；

（2）當三棱錐的體積最大時，設點分別為棱的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1） ；（2），

【解析】

（1）設，先利用線面垂直的判定定理證明即為三棱錐的高，再將三棱錐的體積表示為的函數，最后利用導數求函數的最大值即可；

（2）由（1）可先建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標和相關向量的坐標，設出動點的坐標，先利用線線垂直的充要條件計算出點坐標，從而確定點位置，再求平面的法向量，從而利用夾角公式即可求得所求線面角

(1)設，則

∵折起前，∴折起后

∴平面

∴

設，

∵，∴在上為增函數，在上為減函數

∴當時，函數取最大值

∴當時，三棱錐的體積最大；

(2)以為原點，建立如圖直角坐標系，

由(1)知，三棱錐的體積最大時，,

∴ ,且

設，則

∵，∴

即，

∴，∴,

∴當時，

設平面的一個法向量為，由及

得，取

設與平面所成角為，則

，

∴

∴與平面所成角的大小為.