Question

若直線l：y=kx+

2

與雙曲線

x2

3

-y²=1恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：聯立直線和雙曲線方程，轉化為一元二次方程，利用根與系數之間的關系即可求出k的取值范圍．

解答： 解：由將y=kx+

2

代入雙曲線

x2

3

-y²=1消去y得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-3k2≠0 △=(-6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

且k²＜1．①
設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則  x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_Ax_B=

-9

1-3k2

．
由

OA

•

OB

＞2，得x_Ax_B+y_Ay_B＞2，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

)（kx_B+

2

）=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2=）=（k²+1）•

-9

1-3k2

+

2

k（

6 2 k

1-3k2

）+2=

3k2+7

3k2-1

．
于是

3k2+7

3k2-1

＞2，即

-3k2+9

3k2-1

＞0，
解此不等式得

1

3

＜k²＜3．②
由①②得

1

3

＜k²＜1．
故k的取值范圍為（-1，-

3

3

）∪（

3

3

，1）．

點評：本題主要考查直線和雙曲線的位置關系，利用直線和雙曲線聯立轉化為一元二次方程，利用根與系數之間的關系是解決本題的關鍵．