Question

( 本小題滿分12分)

已知集合中的元素都是正整數，且，集合具有性質：對任意的，且，有．

(Ⅰ) 判斷集合是否具有性質；

(Ⅱ) 求證：；

(Ⅲ) 求證：．

Answer 1

本小題考察對數學概念的閱讀理解能力，考查不等式、集合知識的綜合應用，考查運用學過的數學知識解決問題的能力，考查思維能力、論證能力、運算能力和綜合解題的能力．滿分12分．

〖解析〗(Ⅰ)由于，，，

，，，

所以集合具有性質．              ……………………4分

（Ⅱ）證明：依題意有，又，

因此．

可得．

所以．

即．                   ……………………8分

（Ⅲ）證明：由(Ⅱ)可得．

又，可得，因此．

同理，

可知．

又，可得，

所以均成立．

當時，取，則，可知．

又當時，．

所以．                       ……………………12分

       其它解法，請酌情給分.