Question

已知函數f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

(ω＞0)的最小正周期為4π．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若存在x∈[0，2π]，使不等式f（x）＜m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據輔角公式、二倍角的正弦和余弦化簡f（x）得到f(x)=sin(2ωx+

π

6

)，然后根據函數f（x）的最小正周期求出ω的值，確定函數f（x）的解析式，最后由正弦函數的單調性可求出其單調遞增區間．
（2）先根據x的范圍求出

1

2

x+

π

6

的范圍，進而可得到f（x）的范圍，使得不等式f（x）＜m成立時只要m大于等于f（x）的最小值即可，從而可確定m的范圍．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)
∵T=

2π

2ω

=4π∴ω=

1

4

∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)
∴f（x）的單調遞增區間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)
（2）∵x∈[0，2π]，∴

1

2

x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
f(x)∈[-

1

2

，1]∴m≥-

1

2

點評：本題主要考查三角函數的基本公式的應用．考查對基礎知識的綜合運用．