Question

【題目】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面， ,.

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）若三角形是邊長為的等邊三角形，求三棱錐外接球的表面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問證明線線垂直，可以先證線面垂直，再證線線垂直，即證明AB垂直于PC所在平面，過P作于，根據面面垂直性質定理可知，PO面，易知POAB，再證明OCAB即可；（Ⅱ）求三棱錐的外接球，關鍵是找到外接球的球心，因為三角形是邊長為的等邊三角形，設E為三角形的重心，顯然EP=EA=EB，再通過證明EC=EB，于是可以得出EA=EB=EC=EP，則可以說明E為外接球的球心，于是可以求外接球半徑，再求三棱錐外接球的表面積.

試題解析: （Ⅰ）作于……①,連接，

∵平面平面，且 ，

∴面.

∵，∴,∴，

又∵，∴……②

又,由①②，得面，

又面，∴.

（Ⅱ）∵三角形是邊長為的等邊三角形，∴.

∵面， ,線段上取點，∴,

是外接球的球心，設三棱錐外接球的半徑為，

, , ， ,

∴.