Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù).

（1）求的最大值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解.

【解析】試題分析：（1）由題意由于，所以函數(shù)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)在區(qū)間上的減函數(shù)，所以可以得到的范圍；（2）由于在上恒成立，解出即可；（3）利用方程與函數(shù)的關(guān)系可以構(gòu)造成兩函數(shù)圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)加以分析求解.

試題解析：（1）∵，∴，

又∵在上單調(diào)遞減，∴在恒成立，

∴，∴故的最大值為-1；

（2）∵，

∴只需在上恒成立，

既，

令，

則需則，

又∵恒成立，∴；

（3）由于，令，

∵，∴當(dāng)時(shí)， ，即單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，即單調(diào)遞減，∴，

又∵，

∴當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)解；

當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)解.