Question

已知二次函數f（x）=x²-x，設直線l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t為常數），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成的封閉圖形的面積是s₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是s₂（t），設g（t）=s₁（t）+

1

2

s₂（t），當g（t）取最小值時，求t的值．

Answer 1

分析：用定積分求解，設直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t²-t），再由定積分的幾何意義S₁（t），S₂（t），然后求出函數g（t），利用導數研究函數的最值．

解答：據題意，直線l與f（x）的圖象的交點坐標為（t，t²-t），由定積分的幾何意義知：
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

t 1 2

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[(

x3

3

-

x2

2

)-(t2-t)x]|

t 0

+[(t2-t)x-(

x3

3

-

x2

2

)]|

t 1 2

=-

4

3

t3+

3

2

t2-

1

2

t+

1

12

．
而g′（t）=-4t²+3t-

1

2

=-

1

2

（8t²-6t+1）=-

1

2

（4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0⇒t=

1

4

或t=

1

2

，（不合題意舍去）．
當t∈（0，

1

4

）時，g′（t）＜0，g（t）遞減；
當t∈（

1

4

，

1

2

）時，g′（t）＞0，g（t）遞增；
故當t=

1

4

時，g（t）有最小值．

點評：本題主要考查二次函數解析式和其圖象的應用，這里涉及了曲線所圍成的面積，要用定積分解決，綜合性較強難度較大．