Question

已知函數y=

1+sinx

3+cosx

，則該函數的值域是

 

．

Answer 1

分析：把函數y=

1+sinx

3+cosx

化成整式，化成asinx+bcosx的形式，借助三角函數的有界性求解．

解答：解：∵y=

1+sinx

3+cosx

∴3y+ycosx=1+sinx，即sinx-ycosx=3y-1
∴

1+y2

sin(x+θ)=3y-1，∴sin（x+θ）=

3y-1

1+y2

又-1≤sin（x+θ）≤1，∴-1≤

3y-1

1+y2

≤1
解得0≤y≤

3

4

，
即函數y=

1+sinx

3+cosx

的值域是[0，

3

4

]．
故答案為[0，

3

4

]．

點評：把asinx+bcosx化成Asin（ωx+φ）的形式，A=

a2+b2

，特別是a=b=1；a=

3

，b=1這一類特殊的角，在三角函數中常用．屬中檔題．