Question

已知函數y=|cosx+sinx|．
（1）畫出函數在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的簡圖；
（2）寫出函數的最小正周期和單調遞增區間；試問：當x為何值時，函數有最大值？最大值是多少？
（3）若x是△ABC的一個內角，且y²=1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）化簡函數y=|cosx+sinx|為

2

|sin(x+

π

4

)|，然后畫出函數在x∈[-

π

4

，

7π

4

]的簡圖；
（2）直接求出函數的最小正周期和單調遞增區間；結合圖象容易推出，函數的最大值，以及x的值．
（3）x是△ABC的一個內角，且y²=1，求出x的值，從而判斷△ABC的形狀．

解答：解：（1）∵y=|cosx+sinx|=

2

|sin(x+

π

4

)|，當x∈[-

π

4

，

7π

4

]時，其圖象如圖所示．

（2）函數的最小正周期是π，其單調遞增區間是[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）．
由圖象可以看出，當x=kπ+

π

4

（k∈Z）時，該函數的最大值是

2

．
（3）若x是△ABC的一個內角，則有0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π．由y²=1，
得|cosx+sinx|²=1?1+sin2x=1．
∴sin2x=0，∴2x=π，x=

π

2

，
故△ABC為直角三角形．

點評：本題考查余弦函數的圖象，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的圖象，三角函數的最值，考查作圖能力，計算能力，是中檔題．