Question

已知函數(shù)y=（sinx+cosx）²+2

3

cos²x
（1）求f（

π

3

）的值；     
（2）求它的遞減區(qū)間；
（3）求它的最大，并指明函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)x的取值集合．

Answer 1

分析：首先利用公式把函數(shù)y=（sinx+cosx）²+2

3

cos²x轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式；
（1）直接將x=

π

3

代入即可；（2）由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間求之；（3）由正弦的最大值求之．

解答：解：y=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1）+

3

=1+sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

（1）f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

3

）+1+

3

=1+

3

（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
所以f（x）的遞減區(qū)間為[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）
（3）∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴f（x）的最大值為3+

3

當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

+2kπ時(shí)，取最大值，解得：x=

π

12

+kπ
故函數(shù)取最大值時(shí)相應(yīng)x的取值集合為：{x|x=

π

12

+kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正余弦的倍角公式及形如y=Asin（ωx+φ）+B的函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．