Question

【題目】對于維向量，若對任意均有或，則稱為維向量. 對于兩個維向量定義.

（1）若, 求的值；

（2）現有一個維向量序列： 若且滿足： ，求證：該序列中不存在維向量.

(3) 現有一個維向量序列： 若且滿足： ，若存在正整數使得為維向量序列中的項，求出所有的.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據的定義可求得其值；（Ⅱ）利用反證法，向量的每一個分量變為，都需要奇數次變化，根據，得出矛盾；（Ⅲ）根據題意可得.

試題解析：（Ⅰ）由于， ，由定義，

可得.

（Ⅱ）反證法：若結論不成立，即存在一個含維向量序列，

使得， .

因為向量的每一個分量變為，都需要奇數次變化，

不妨設的第個分量變化了次之后變成，

所以將中所有分量 變為 共需要 次，此數為奇數.

又因為，說明中的分量有個數值發生改變，

進而變化到，所以共需要改變數值次，此數為偶數，所以矛盾.

所以該序列中不存在維向量.

（Ⅲ）此時.