Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分別是A1B，B1C1的中點．

(1)求證：MN⊥平面A1BC；

(2)求直線BC1和平面A1BC所成的角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）易得BC⊥平面ACC1A1，連接AC1，則BC⊥AC1．側面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根據線面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因為側面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1，從而MN⊥平面A1BC；
（2）根據AC1⊥平面A1BC，設AC1與A1C相交于點D，連接BD，根據線面所成角的定義可知∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成角，設AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．

試題解析：

(1)證明　如圖，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．連接AC1，則BC⊥AC1．

又側面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．

又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．

因為側面ABB1A1是正方形，M是A1B的中點，連接AB1，則點M是AB1的中點．

又點N是B1C1的中點，則MN是△AB1C1的中位線，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．

(2)如圖所示，因為AC1⊥平面A1BC，設AC1與A1C相交于點D，

連接BD，則∠C1BD為直線BC1和平面A1BC所成的角．

設AC＝BC＝CC1＝a，則C1D＝a，BC1＝a．

在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直線BC1和平面A1BC所成的角為30°．