Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ根據不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得出x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根列出關于a，b的等式再根據方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根得到：△=0求得a值，從而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值為

-a2-4a-1

a

再由題意得出關于a的不等關系，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根
∴

b+2 a =-4 c a =3

∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根
∴△=b²-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）²-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴a=-

1

5

或a=1（舍）
∴a=-

1

5

，b=-

6

5

，c=-

3

5

∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a=a(x-

2a+1

a

)-

(2a+1)2

a

+3a=

-a2-4a-1

a

∵a＜0，
∴f（x）的最大值為

-a2-4a-1

a

∵f（x）的最大值為正數
∴

a＜0 -a2-4a-1 a ＞0

∴

a＜0 a2+4a+1＞0

解得a＜-2-

3

或-2+

3

＜a＜0
∴所求實a的取值范圍是(-∞，-2-

3

)∪(-2+

3

，0)

點評：本小題主要考查函數的最值及其幾何意義、函數與方程的綜合運用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，與轉化思想．屬于基礎題．