Question

（本小題滿分12分）已知函數（I）求函數上的最小值；（II）求證：對一切，都有

Answer 1

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，當x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調遞減，
當x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調遞增．              ……2分
①0＜t＜t＋2＜，t無解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時，f （x）_min＝f （）＝－；
③≤t＜t＋2，即t≥時，f （x）在［t，t＋2］上單調遞增，f （x）_min＝f （t）＝tlnt；
所以f （x）_min＝．                                          ……6分
（II）問題等價于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），
由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當且僅當x＝時取到．
設m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，易得m （x）_max＝m （1）＝－，當且僅當x＝1時取到，從而對一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－．…12分

略