Question

【題目】已知雙曲線實軸長為6，一條漸近線方程為4x﹣3y=0．過雙曲線的右焦點F作傾斜角為 的直線交雙曲線于A、B兩點
（1）求雙曲線的方程；
（2）求線段AB的中點C到焦點F的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題得2a=6， ，

得a=3，b=4，

可得雙曲線方程為

（2）解：由題意可得F（5，0），直線AB的方程為y=x﹣5，

聯立 ，

消去y，可得7x2+90x﹣369=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得 ，

可得中點C的橫坐標為 ，

可得C（﹣ ，﹣ ），

F點橫坐標為x=5，可得F（5，0），

即有|CF|= =

【解析】（1）運用雙曲線的漸近線方程可得 ，結合條件2a=6，可得a，b，進而得到雙曲線的方程；（2）求得直線AB的方程，代入雙曲線的方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式可得C的坐標，再由兩點的距離公式計算即可得到所求值．