Question

【題目】設為給定的不小于的正整數，考察個不同的正整數，，，構成的集合，若集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等，則稱集合為“差異集合”．

（1）分別判斷集合，集合是否是“差異集合”；（只需寫出結論）

（2）設集合是“差異集合”，記，求證：數列的前項和；

（3）設集合是“差異集合”，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）集合不是，集合是；（2）見解析；（3）最大值為

【解析】

（1）利用定義直接判斷

（2）利用定義得，則

即可證明

（3）不妨設，變形

結合， 即可證明

（1）集合不是，因為，即子集與子集元素之和相等；

集合是，因為集合的任何兩個不同的非空子集所含元素的總和均不相等.

（2）由集合是“差異集合”知：的個非空子集元素和為互不相等的個正整數，

于是，所以

（3）不妨設，考慮

而，所以

當時，；

綜上，的最大值為.