Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為正三角形，為棱的中點，，，平面平面

（1）求證：平面平面；

（2）若是棱上一點，與平面所成角的正弦值為，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先根據平面平面，得出，結合條件得出平面，從而可得.

（2）建立空間直角坐標系，結合與平面所成角的正弦值為得出的坐標，然后利用法向量可求.

（1）因為為正三角形，為棱的中點，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

所以，又，且，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）作中點，連，由（1）及可知平面，

以為坐標原點，分別為軸，過且平行于的方向為軸，如圖，建立空間直角坐標系．

設，

則,

，

設，則,，

設平面的法向量為，

因為與平面所成角的正弦值為，

所以，即，解得，

即為的中點，則

設平面的法向量為，則

，即，

取.

設平面的法向量為，則，

則二面角的余弦值為，

故.