Question

對于函數f(x)=2sin(x+

π

12

)sin(

5π

12

-x)，x∈R，下列命題：
①f（x）可以化簡為f(x)=sin(2x+

π

6

)；
②函數圖象關于直線x=-

π

12

對稱；
③函數圖象關于點（

5π

12

，0）對稱；
④函數圖象可看作是把y=sin2x的圖象向左平移個

π

6

單位而得到；
⑤函數圖象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變）而得到； 其中所有正確的命題的序號是

①③⑤

．
（注：把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用誘導公式、二倍角公式化簡函數，結合三角函數圖象的性質進行判斷，即可得出結論．

解答：解：①f（x）=2sin（x+

π

12

）cos（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

），即f（x）可以化簡為f(x)=sin(2x+

π

6

)，故①正確；
②由①知x=-

π

12

時，f（x）=0，故②不正確；
③x=

5π

12

時，f（x）=0，所以函數圖象關于點（

5π

12

，0）對稱，故③正確；
④f（x）=sin[2（x+

π

12

）]，所以函數圖象可看作是把y=sin2x的圖象向左平移個

π

12

單位而得到，故④不正確；
⑤函數圖象可看作是把y=sin（x+

π

6

）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變）而得到，故⑤正確，
綜上，正確的命題的序號是①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點評：本題考查誘導公式、二倍角公式，考查三角函數圖象的性質，正確利用三角函數圖象的性質是關鍵．