Question

（本小題滿分12分）

正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面邊長是，側棱長是3，點E、F分別在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求證：A₁C⊥面AEF；

（2）求截面AEF與底面ABCD所成二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）連接，

正四棱柱  

通過，同理可得：    

；

（2）。

【解析】

試題分析：證明：（1）連接

正四棱柱 ------2分

又 

 -------4分

同理可得：    

--------------------6分

（2） ∽

-------8分

又  底面邊長是，側棱長是3

  --------9分

得  ，

同理    -----------（10分）

又 ， --------------12分

證法二 建立空間直角坐標系（略）

考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用向量則能簡化證明過程。