Question

【題目】設m，n（3≤m≤n）是正整數，數列Am：a1 ， a2 ， …，am ， 其中ai（1≤i≤m）是集合{1，2，3，…，n}中互不相同的元素．若數列Am滿足：只要存在i，j（1≤i＜j≤m）使ai+aj≤n，總存在k（1≤k≤m）有ai+aj=ak ， 則稱數列Am是“好數列”． （Ⅰ）當m=6，n=100時，
（ⅰ）若數列A6：11，78，x，y，97，90是一個“好數列”，試寫出x，y的值，并判斷數列：11，78，90，x，97，y是否是一個“好數列”？
（ⅱ）若數列A6：11，78，a，b，c，d是“好數列”，且a＜b＜c＜d，求a，b，c，d共有多少種不同的取值？
（Ⅱ）若數列Am是“好數列”，且m是偶數，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（ⅰ）∵m=6，n=100，數列A6：11，78，x，y，97，90是一個“好數列”， ∴x=89，y=100，或x=100，y=89，
數列：11，78，90，x，97，y也是一個“好數列”．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，數列必含89，100兩項，
若剩下兩項從90，91，…，99中任取，則都符合條件，有 種；
若剩下兩項從79，80，…，88中任取一個，
則另一項必對應90，91，…，99中的一個，有10種；
若取68≤a≤77，則79≤11+a≤88，90≤22+a≤99，“好數列”必超過6項，不符合；
若取a=67，則11+a=78∈A6 ， 另一項可從90，91，…，99中任取一個，有10種；
若取56＜a＜67，則67＜11+a＜78，78＜22+a＜89，“好數列”必超過6項，不符合；
若取a=56，則b=67，符合條件，
若取a＜56，則易知“好數列”必超過6項，不符合；
綜上，a，b，c，d共有66種不同的取值．
證明：（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，一個“好數列”各項任意排列后，還是一個“好數列”．
又“好數列”a1 ， a2 ， …，am各項互不相同，所以，不妨設a1＜a2＜…＜am ．
把數列配對： ，
只要證明每一對和數都不小于n+1即可．
用反證法，假設存在 ，使aj+am+1﹣j≤n，
因為數列單調遞增，所以am﹣j+1＜a1+am﹣j+1＜a2+am﹣j+1＜…＜aj+am﹣j+1≤n，
又因為“好數列”，故存在1≤k≤m，使得ai+am+1﹣j=ak（1≤i≤j），
顯然ak＞am+1﹣j ， 故k＞m+1﹣j，所以ak只有j﹣1個不同取值，而ai+am+1﹣j有j個不同取值，矛盾．
所以， 每一對和數都不小于n+1，
故 ，即
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）由“好數列”定義能求出x，y的值，并判斷數列：11，78，90，x，97，y是一個“好數列”．（ⅱ）由數列必含89，100兩項，若剩下兩項從90，91，…，99中任取，有 種；若剩下兩項從79，80，…，88中任取一個，有10種．由此分類討論，能求出a，b，c，d共有多少種不同的取值．（Ⅱ）一個“好數列”各項任意排列后，還是一個“好數列”．設a1＜a2＜…＜am ． 把數列配對： ，只要證明每一對和數都不小于n+1即可．例用反證法，能證明 ．