Question

若函數滿足：在定義域內存在實數，使(k為常數)，則稱“f（x）關于k可線性分解”．
（Ⅰ）函數是否關于1可線性分解?請說明理由；
（Ⅱ）已知函數關于可線性分解，求的取值范圍；
（Ⅲ）證明不等式：．

Answer 1

（Ⅰ）是關于1可線性分解；（Ⅱ）a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：（Ⅰ）函數是否關于1可線性分解，關鍵是看是否存在使得成立，若成立，是關于1可線性分解，否則不是關于1可線性分解，故看是否有解，構造函數，看它是否有零點，而，觀察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先確定定義域為，函數關于可線性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式：，當時，，對求導，判斷最大值為，可得，分別令，疊加可得證結論．
試題解析：（Ⅰ）函數的定義域是R，若是關于1可線性分解，
則定義域內存在實數，使得．
構造函數
．
∵，且在上是連續的，
∴在上至少存在一個零點．
即存在，使．             4分
（Ⅱ）的定義域為．
由已知，存在，使．
即．
整理，得，即．
∴，所以．
由且，得．
∴a的取值范圍是．                  9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．
當時，，所以的單調遞增區間是，當時，，所以的單調遞減區間是，因此時，的最大值為，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．                １４分