Question

命題P：方程

x2

k-2

+

y2

k-1

=1表示雙曲線，命題q：不等式x²-2x+k²-1＞0對一切實數x恒成立．
（1）求命題P中雙曲線的焦點坐標；
（2）若命題“p且q”為真命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）因為k-1＞k-2，所以a²=k-1，b²=k-2…（2分）
所以c²=1，且焦點在y軸上，…（4分）
所以雙曲線的焦點坐標為（0，±1）．…（6分）
（2）命題p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）
命題q：△=4-4（k²-1）＜0，k＜-

2

或k＞

2

．…（10分）
因為命題“p且q”為真命題，所以

1＜k＜2 k＜- 2 或k＞ 2

即

2

＜k＜2．…（14分）
（注：若第（1）問分類討論答案對也算對）