Question

【題目】已知函數(shù)= .

(1)是否存在實數(shù)使函數(shù)是奇函數(shù)?并說明理由;

(2)在(1)的條件下,當時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)存在滿足題意.(2)

【解析】試題分析：(1)由=得=，可得a=1；(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上是增函數(shù)，則原不等式等價于= ，即，當時恒成立，設=，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，即可求出求值，即可得出結論.

試題解析：(1)當函數(shù)是奇函數(shù)，由得， =,

解得.

(2)函數(shù)，任取，設

則==，

因為函數(shù)在上是增函數(shù),且所以，

又,所以，即，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，因為是奇函數(shù)，

從而不等式等價于= ,

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以當時恒成立.

設，任取,且則==，

當且時, ，

所以，所以在上是減函數(shù)；

當且時， ，

所以，所以在上是增函數(shù)，所以= =，

即，所以的取值范圍為