Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，已知Sn=

n2+3n

2

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{c_n}滿足c_n=

an，n為奇數 2n，n為偶數

，求數列{c_n}的前n項和為T_n．
（3）張三同學利用第（2）題中的T_n設計了一個程序流程圖，但李四同學認為這個程序如果被執行會是一個“死循環”（即程序會永遠循環下去，而無法束）．你是否同意李四同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

n2+3n

2

，令n=1，求得數列的首項，再利用已知數列的前n項和與通項之間的關系，可求出數列的通項；
（2）數列數列{c_n}滿足c_n=

an，n為奇數 2n，n為偶數

，（k∈N*），利用分組求和求出數列cn的前n項的和；
（3）記d_n=T_n-P，當n為偶數時，dn=

4(2n-1)

3

-

47n

2

，d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47；n為奇數時，dn=

4(2n-1-1)

3

-23n+

3

4

，dn+2-dn=2n+1-46，分析即可求解．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2；
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，則an=n+1(n∈N*)…（4分）
（2）當n為偶數時，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)
當n為奇數時，n-1為偶數，Tn=(a1+a3+…+an)+(22+24+…+2n-1)=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)
則Tn=

2n+n2 4 + 4(2n-1) 3 ，n為偶數 n2+4n+3 4 + 4(2n-1-1) 3 ，n為奇數

…（9分）
（3）記d_n=T_n-P
當n為偶數時，dn=

4(2n-1)

3

-

47n

2

d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47
∴從第4項開始，數列{d_n}的偶數項開始遞增，而d₂，d₄，…d₁₀d都小于2005d₁₂＞2005
∴d_n=2005（n為偶數）
當n為奇數時，dn=

4(2n-1-1)

3

-23n+

3

4

，dn+2-dn=2n+1-46
∴從第5項開始，數列{d_n}的偶數項開始遞增，而d₁，d₃…d₁₁都小于2005，d₃＞2005
則d_n≠2005（n為奇數）
李四的觀點正確．（14分）

點評：此題以程序圖為載體考查數列的性質和應用，考查了已知數列的前n項和求數列的通項，等比數列的定義及通項公式，還考查了學生分類討論的思想．解題時要認真審題，仔細解答．