Question

【題目】

如圖，四棱錐P －ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，

且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E 為側(cè)棱PD的中點(diǎn)。

（1）求證：PB//平面EAC；

（2）求證：AE⊥平面PCD；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，PB⊥AC ？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA。

（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD。

（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值。

（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,

因?yàn)镺，E分別為BD.PD的中點(diǎn), 所以EO//PB,

,所以PB//平面EAC。

（2）

正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，所以，，

又，所以，AE⊥平面PCD。

（3）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則。

又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。

所以，NB為PB在面ABCD上的射影。

要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,

由,得∽，

解之得：,

所以，當(dāng) 時(shí)，PB⊥AC。