Question

【題目】某企業接到生產3000臺某產品的三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2,2,1（單位：件）,已知每個工人每天可生產A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.該企業計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比，比例系數為k（k為正整數）.

（1）設生產部件的人數為，分別寫出完成三種部件生產需要的時間；

（2）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時完成訂單任務的時間最短，此時生產三種部件的人數分別為44,88,68.

【解析】

（1）設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為由題設有

期中均為1到200之間的正整數.

（2）完成訂單任務的時間為其定義域為

易知，為減函數，為增函數.

注意到于是

（i）當時，此時

，

由函數的單調性知，當時,取得最小值，解得

.由于,

而.

故當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為.

（ii）當時，由于為正整數，故，此時,易知為增函數，則.

由函數的單調性知，

當時，取得最小值，解得.

由于，而，

此時完成訂單任務的最短時間大于.

（iii）當時，由于為正整數，故，此時由函數的單調性知，

當時取得最小值，解得.

類似（i）的討論.此時完成訂單任務的最短時間為，大于.

綜上所述，當時完成訂單任務的時間最短，此時生產三種部件的人數

分別為44,88,68.