Question

已知定義域為R的函數f（x）滿足：①對于任意的x∈R，f（-x）+f（x）=0；②當x＞0時，f（x）=x²-3．
（1）求函數f（x）的解析表達式；
（2）畫出函數f（x）的圖象；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析：（1）根據條件①變形，得到f（x）在定義域內是奇函數，設x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化簡后即可得到x小于0時f（x）的解析式，綜上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函數解析式；當x=0時f（x）=0；
（2）分段畫出f（x）的圖象．
（3）當x大于0時，小于0，等于0時，把（1）得到的相應的解析式代入方程中，求出方程的解集即可．

解答：解：（1）∵對于f（x）定義域內的任意實數x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定義域R內是奇函數（2分）
所以f（0）=0
∵當x＞0時，f（x）=x²-3，
設x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-3，即f（x）=3-x²，
則 f(x)=

x2-3(x＞0) 0  (x=0) 3-x2(x＜0)

；（6分）
（2）函數f（x）的圖象為：

（3）∵當x＞0時，x²-3=2x，
解得：x=3，
當x=0時，有0=2x
解得x=0
當x＜0時，3-x²=2x，
化簡得：（x-1）（x+2）＞0，
解得：x=-3
所以方程的解集為{3，0，-3}

點評：此題要求學生掌握奇函數的性質及確定方法，考查了一元二次不方程的解法，考查了分類討論的數學思想，是一道中檔題．