Question

二次函數f（x）滿足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，則m的取值范圍是（ ）
A．（0，+∞）
B．[2，+∞）
C．（0，2]
D．[2，4]

Answer 1

【答案】分析：由題意，二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），對稱軸是x=2，可設二次函數為y=a（x-2）²+b，又f（0）=3，f（2）=1，由此得到關于兩個參數a，b的方程組，解出a，b的值，求得二次函數的解析式；若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求出1，3對應的自變量，再由二次函數的性質判斷出參數的取值范圍
解答：解：∵二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
∴其對稱軸是x=2，
可設其方程為y=a（x-2）²+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴
解得a=，b=1
函數f（x）的解析式是y=（x-2）²+1
∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函數的性質知，m≤4
綜上得2≤m≤4
故選D
點評：本題考查二次函數的在閉區間上的最值，解題的關鍵是用待定系數法求出函數的解析式，及熟練掌握二次函數的性質，判斷出參數的取值范圍，本題是二次函數考查的典型題．