Question

【題目】已知函數（，）和函數（，，）．問：（1）證明：在上是增函數；

（2）把函數和寫成分段函數的形式，并畫出它們的圖象，總結出的圖象是如何由的圖象得到的．請利用上面你的結論說明：的圖象關于對稱；

（3）當，，時，若對于任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）理由見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用單調區間定義法，計算，所以函數為增函數；（2）根據絕對值的意義，有.的圖象是由的圖象向右平移個單位得到的，因此，函數圖象，是由向右平移個單位得到，故圖像關于對稱；（3）當，，時，若等價于對于任意的恒成立，根據去絕對值，分類討論的取值范圍.

試題解析：

（1）在內任取兩個實數，，且，則，

，

因為，，所以，又有，所以，

所以在是增函數．

（2）

的圖象是由的圖象向右平移1個單位得到的，

先考慮函數（，），

在的定義域內任取一個實數，則也在其定義域內，

因為，所以函數是偶函數,

即其圖象的對稱軸為，

由上述結論，的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，

所以的圖象關于對稱．

（3）由題意可知對于任意的恒成立．

當時，不等式化為，

即對于任意恒成立，

當時，即，不等式化為，滿足題意；

當時，由題意進而對稱軸，

所以，解得；

結合以上兩種情況．

當時，不等式，

即對于任意恒成立，

由題意進而對稱軸，

所以，即，解得，

所以．

綜上所述，的取值范圍為．