Question

【題目】已知兩個定點，， 動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線：.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若是直線上的動點，過作曲線的兩條切線QM、QN，切點為、，探究：直線是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，定點為

【解析】

（1）設點的坐標為，由列出方程化簡求解即可；
（2）說明都在以為直徑的圓上，是直線上的動點，設，圓的圓心為，且經過坐標原點，可表示出圓的方程，將其與曲線聯立，推出直線的方程，然后可解得直線是過的定點．

（1）由題，設點的坐標為，

因為，即，

整理得，

所以所求曲線的軌跡方程為．

（2）依題意，，則都在以為直徑的圓上，

是直線上的動點，設，

則圓的圓心為，且經過坐標原點，

即圓的方程為，

又因為在曲線上，

由，可得，

即直線的方程為，

由且，可得，解得，

所以直線過定點．