Question

（本小題滿分14分）已知函數 ，．
（1）當時，求曲線在點（3,）處的切線方程；
（2）當函數在上有唯一的零點時，求實數的取值范圍．

Answer 1

解：(1)當a=0時，，
∴f(3)=1，   ∵f'(x)=x²-2x  ………3分 
曲線在點(3，1)處的切線的斜率k=f'(3)="3 " ………4分
∴所求的切線方程為y-1=3(x-3)，即y="3x-8 " ………6分
(2)∵f'(x)=x²-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x₁=3a，x₂=a+2
①當x₁=x₂時，3a=a+2，解得a=1，這時x₁=x₂=3，函數y=f'(x)在(0，4)上
有唯一的零點，故a=1為所求；………7分
②當x₁>x₂時，即，這時x₁>x₂>3，
又函數y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零點，
  ..........10分
③當x₁<x₂時，即a<1，這時x₁<x₂<3
又函數y=f'(x)在（0，4）上有唯一的零點，
∴ ………13分
綜上得當函數在上有唯一的零點時，
或或. ………14分

略